Kiểm định phương sai sai số thay đổi

Trong bài viết này, SciEco cung cấp nội dung về kiểm định phương sai sai số thay đổi - một trong những kiểm định quan trọng trong khuyết tật mô hình hồi quy OLS.

Phương sai sai số thay đổi là hiện tượng mà phương sai của các sai số ước lượng không bằng nhau (heteroscedasticity). Hiện tượng này có thể xảy ra đối với cả 3 dạng dữ liệu: Chéo (Cross-sectional), Chuỗi thời gian (Time-series), Bảng (Panel). Đối với dữ liệu chéo được ước lượng bằng phương pháp OLS, các phương pháp kiểm định phương sai sai số thay đổi như sau:

1. Hiện tượng phương sai sai số thay đổi

Xét mô hình ban đầu:

Y_i = \beta_o + \beta_1*X_{1} + \beta_2*X_2 +u_i (1)

Một giả thiết quan trọng của OLS chính là:

Giả thiết 3: Phương sai sai số ngẫu nhiên không đổi (homoscedasticity)

Var(u_i) = \sigma^2

Nếu giả thiết này bị vi phạm thì mô hình có phương sai sai số thay đổi (heteroskedasticity)

Var(u_i) \neq {\sigma_i}^2

Hệ quả:

Các hệ số ước lượng OLS không chệch
Phương sai của ước lượng hệ số là chệch
Sai số chuẩn SE là chệch
Khoảng tin cậy, kiểm định T có thể sai
Các ước lượng OLS không còn là ước lượng hiệu quả, không phải tốt nhất

2. Kiểm định phát hiện phương sai sai số thay đổi

Ta thực hiện hồi quy bình phương phần dư e (do $u$ chưa biết) theo các yếu tố khi hệ số góc có ý nghĩa thống kê. Nếu bình phương phần dư e thay đổi theo đó thì xuất hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi.

Kiểm định BPG (Breusch-Pagan-Godfrey)

Hồi quy mô hình ban đầu (1) thu được phần dư $e$

Mô hình hồi quy phụ:

e^2 = \alpha_0 + \alpha_1*X_1 + \alpha_2*X_2 + v

Ta xét cặp giả thuyết sau:

\begin{cases} H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = 0 \\ H_1: {\alpha_1}^2 + {\alpha_2}^2 \neq 0) \end{cases}

Sử dụng kiểm định F, tính với hệ số R bình phương của hồi quy phụ và bậc tự do k:

F = ({R_*}^2(U) - {R_*}^2(R))/m / (1-{R_*}^2(U))/(n-k(U))

Hoặc sử dụng kiểm định Chi bình phương (Chi_Square), với hệ số R bình phương của hồi quy phụ và bậc tự do k:

{\chi_{qs}}^2 = n*{R_*}^2

Bác bỏ H0 khi

{\chi_{qs}}^2 > {\chi_\alpha}^2(k_*-1)

Kết luận: Mô hình có phương sai sai số thay đổi.

Kiểm định White

Dùng cho mô hình nhiều biến giải thích. Hồi qui bình phương phần dư theo tổ hợp bậc cao dần của các biến giải thích.

Hồi quy mô hình ban đầu (1) thu được phần dư e:

e^2=\alpha_0+\alpha_1*X_1+\alpha_2*X_2+\alpha_3*{X_1}^2+\alpha_4*{X_2}^2+\alpha_5*X_1*X_2

Nếu hệ số góc bất kì khác 0 thì mô hình có phương sai sai số thay đổi.

Xét cặp giả thuyết:

\begin{cases} H_0: {R_*}^2 = 0 \\ H_1: {R_*}^2 \neq 0) \end{cases}

Tương tự, dùng kiểm định F và kiểm định Chi bình phương (Chi_Square).

Như vậy, xác định khuyết tật phương sai sai số của mô hình được thực hiện thông qua ý nghĩa thống kê của các hệ số ước lượng trong hồi quy phụ. Hồi quy phụ nhằm xác định phần dư của mô hình có bị tác động bởi các biến độc lập hay không. Nếu có (ít nhất 1 hệ số của hồi quy phụ khác 0 và có ý nghĩa thống kê) thì mô hình ban đầu xảy ra hiện tượng phương sai sai số thay đổi. Và tùy vào các xây dựng hàm hồi quy phụ mà chúng ta có các phương pháp kiểm định khác nhau. Ngoài kiểm định Breusch-Pagan-Godfrey và White mà SciEco đã giới thiệu ở trên, các kiểm định khuyết tật này còn được đưa ra bởi Harvey, Gleijer, Park, Koenker-Bass...

Trong bài viết tiếp theo, SciEco hướng dẫn chi tiết bạn đọc cách xác định phương phương sai sai số thay đổi qua phần mềm STATA.